Тема роботи «Види рівнянь та методи їх розв’язування»
Ліснічук Олександр Сергійович
учень 9 класу Великомедведівського навчально-виховного комплексу «загальноосвітній навчальний заклад І-ІІІ ступенів – дошкільний навчальний заклад»
Шепетівського району
Науковий керівник – Петрик Ірина Григорівна,
вчитель математики, спеціаліст другої категорії
Об’єкт дослідження : елементарна алгебра
Предмет дослідження: рівнняння та способи їх розв’язування.
Мета дослідження: формування таких найважливіших понять, як рівняння, його ОДЗ, рівносильні рівняння і рівняння-наслідки, а також розвинення вмінь розв’язувати найважливіші класи рівнянь та рівняння приватного характеру.
Основні завдання дослідження:
Покращити навички розв'язання рівнянь
- Напрацювати нові способи рішення рівнянь
- Вивчити деякі нові способи та формули для вирішення цих рівнянь.
Зв’язок даної роботи зі шкільною програмою.
Дана робота дуже тісно пов’язана зі шкільною програмою, адже рівняння вивчаються з 3 по 11 клас. Але деякі рівняння зі шкільних підручників з математики 10 -11 класу важко розвязати відомими раніше способами.
Результатом дослідження є узагальнення та систематизація знань про рівняння та властивості рівняннь різних видів; встановлення вагомого внеску видатних вчених-математиків світу у розвиток розвязування рівнянь; ознайомлення із способами розв’язування рівнянь приватного характеру.
ЗМІСТ
Вступ…………………………………………………………………..…………..з
1. Історичні дані про виникнення та розвиток поняття рівняння.
1.1. Рівняння в Стародавньому Вавілоні ………………………….……..4
1.2.Рівняння арабів………………………………………………………..5
1.3.Рівняння в Індії…………………………………………………..........5
2. Основні відомості про рівняння
2.1. Що таке рівняння і його корені..…………………………………….6
2.2. Лінійні рівняння………………………………....................................8
3. Квадратні рівняння і методи їх розв’язування
3.1. Основні поняття ………………………………………………………..9
3.2. Формули парного коефіцієнта при х………………………………….11
3.3. Теорема Вієта…………………………………………………………..12
3.4. Квадратні рівняння приватного характеру………………………… ..13
4. Дробово-раціональні рівняння та їх розв’язки……………………………16
5. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля…………………………17
6. Рівняння з параметрами…………………………………………………….19
7. Методи розв’язування рівнянь
7.1 Метод заміни змінної……………………………………………………20
7.2. Метод розкладання на множники ……………………………………..22
Висновки …………………………………………………………………………..23
Список використаної літератури ………………………………………………24
ВСТУП
Яка користь людині, що не знає алгебри, в рівнянні якоїсь лінії, незважаючи на те, що в цьому рівнянні є все: і її закон, і побудова, і всі можливі випадки; але вони є тільки для того, хто знає, як взагалі складаються рівняння, — одне слово, для людини, яка знає про захований у формулі шлях, для якої кожний знак нагадує певний порядок понять: в загальній формулі міститься вся істина...
Гарцен О.І.
Рівняння в шкільному курсі алгебри займають провідне місце. На їх вивчення відводиться часу більше, ніж на будь-яку іншу тему. Дійсно, рівняння не тільки мають важливе теоретичне значення, але і служать суто практичним цілям. Переважна кількість задач про просторові форми і кількісні співвідношення реального світу зводиться до вирішення різних видів рівнянь. Опановуючи способами їх вирішення, ми знаходимо відповіді на різні питання з науки і техніки (транспорт, сільське господарство, промисловість, зв'язок і т. д.).
В цій роботі хотілося б відобразити формули і способи вирішення різних рівнянь. Для цього наводяться рівняння, які вивчаються в школі та рівняння які не вивчаються у шкільній програмі. В основному це рівняння приватного характеру та рівняння вищих ступенів. Щоб розкрити цю тему наводяться докази
цих формул.
Вибір цієї теми грунтувався на тому, що рівняння є як у програмі початкової, так і в кожному наступному класі загальноосвітніх шкіл, ліцеїв, коледжів. Багато геометричних задач, задачі з фізики, хімії та біології вирішуються за допомогою рівнянь. Рівняння вирішували двадцять п'ять століть тому. Вони створюються і сьогодні - як для використання в навчальному процесі, так і для конкурсних іспитів до вузів, для олімпіад самого високого рівня.
1. Історичні дані про виникнення та розвиток поняття рівняння.
Алгебра тривалий час входила до арифметики – однієї з найдавніших математичних дисциплін (поряд з геометрією). У перекладі з грецької мови слово “арифметика” означає “мистецтво чисел”. Алгебру ж тривалий час трактували як мистецтво розв’язувати рівняння. Походження слова “Алгебра” пов’язане саме з рівняннями.
Лінійні рівняння вміли розв’язувати ще давно єгиптяни і вавилоняни (І тис. до н.е.). Про стан алгебри в Давньому Єгипті свідчать математичні тексти. Що були написані на особливому папері –папірусі, виготовленому із стебел рослини, яка має таку ж назву. Написання деяких папірусів відносять до XVIII ст. до н.е., хоча описані в них математичні факти були відомі давнім єгиптянам задовго до їхнього написання.
Рівняння в Стародавньому Вавілоні
Алгебра виникла у зв'язку з вирішенням різноманітних задач за допомогою рівнянь. Зазвичай в задачах потрібно знайти одну або декілька невідомих, знаючи при цьому результати деяких дій, вироблених над шуканими і даними величинами. Такі завдання зводяться до вирішення одного або системи кількох рівнянь, до знаходження шуканих за допомогою алгебраїчних дій над даними величинами. В алгебрі вивчається загальні властивості дій над величинами.
Деякі алгебраїчні прийоми рішення лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще 4000 років тому в Стародавньому Вавілоні. Необхідність вирішувати рівняння не тільки першої, але і другого ступеня ще в давнину була викликана потребою розв'язувати задачі, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок і з земельними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Як було сказано раніше, квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до нашої ери вавилонянами. Застосовуючи сучасну алгебраїчну запис, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються як неповні, так і повні квадратні рівняння.
Правило рішення цих рівнянь, викладене у вавілонських текстах, співпадає по суті з сучасними, проте невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти призводять тільки завдання з рішенням, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином
вони були знайдені.
Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутнє поняття від'ємного числа і загальні методи вирішення
квадратного рівняння.
1.2 Рівняння арабів
Деякі способи вирішення рівнянь як квадратних, так і рівнянь вищих ступенів були виведені арабами. Так відомий арабський математик Ал-Хорезмі у своїй книзі «Ал - Джабар» описав багато способів вирішення різних рівнянь. Їх особливість була в тому, що Ал-Хорезмі застосовував складні радикали для знаходження коренів (рішень) рівнянь. Необхідність у вирішенні таких рівнянь
ула потрібна в питаннях про розподіл спадщини.
1.3 Рівняння в Індії
Квадратні рівняння вирішували і в Індії. Задачі на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті «Аріабхаттіам», складеному в 499 році індійським математиком і астрономом Аріабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII століття), виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиної конічній формі:
aх ² + bx = c, де a> 0
У цьому рівнянні коефіцієнти, крім а, можуть бути і негативними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.
У Стародавній Індії були поширені публічні змагання у вирішенні складних завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчений чоловік затьмарить славу іншого в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи алгебраїчні завдання». Завдання часто наділялися в віршовану форму.
Різні рівняння як квадратні, так і рівняння вищих ступенів вирішувалися нашими далекими предками. Ці рівняння вирішували в самих різних і віддалених один від одного країнах. Потреба в рівняннях була велика. Рівняння застосовувалися
в будівництві, у військових справах, і в побутових ситуаціях.
2. Основні відомості про рівняння.
2.1 Що таке рівняння і його корені.
Розв’язування багатьох задач у науці, техніці і повсякденному житті можна звести до складання і розв’язування рівнянь.
Приклад. Під час вільного падіння тіло рухається за законом
s = v0 t + (at^2)/2 ,
де s – пройдений шлях, м; t – час, с; v0 і а – деякі сталі. Відомо, що за перші 2 с тіло проходить 10 м, а за перші 3 с – 18 м. скільки секунд тіло буде падати з висоти 130 м?
Оскільки при t = 2 значення s = 10, а при t = 3 значення s = 18, то для знаходження сталих v0 і а маємо систему рівнянь
{█(10=2v_0+2a@18=3v_0+ 9a/2.)┤
Розв’язуючи її, дістанемо: v0 = 3, а = 2. Таким чином, тіло рухається за законом s = t2 +3t, і розв’язання задачі звелося до розв’язання квадратного рівняння t2 +3t = 130.
Ця задача показує, як важливо навчитися складати і розв’язувати різноманітні рівняння.
Нагадаємо деякі основні поняття теорії рівнянь.
Два вирази зі змінною, з’єднані знаком рівності, утворюють рівняння.
Змінну в рівнянні зазвичай називають також невідомим. Ми вважатимемо ці терміни рівноцінними.
Наприклад, 2t – 5 = 0, x2 = 3x – 2, √(a+2)=a, y/(4y-1) = y + 2 – усе це рівняння з одним невідомим.
Якщо замість змінної в рівняння підставити будь-яке числове значення, то дістанемо числову рівність – правильну чи неправильну. Так, підставивши x = 2 у рівняння x2 = 3x – 2, дістанемо правильну числову рівність 4 = 4. А якщо підставити x = 0, то дістанемо неправильну рівність 0 = - 2.
Значення змінної, при якому рівняння перетворюється в правильну числову рівність, називається коренем рівняння чи розв’язком рівняння.
У розглянутому випадку число x = 2 є коренем рівняння x2 = 3x – 2, а число x = 0 не є коренем рівняння.
Розв’язати рівняння – це означає знайти всі його корені, або довести що коренів немає.
Розв’язати рівняння (х – 1 )(х – 2 ) = 0 – це знайти його обидва корені х1 = 2, х2 = 1. А розв’язати рівняння х2 + 4 = 0 – це означає довести, що воно не має коренів.
Рівняння можуть мати різний вигляд залежно від виразів, що утворюють його. Найбільш прості з відомих нам рівнянь – це лінійні і квадратні.
Два рівняння називаються рівносильними, якщо множини їхніх коренів збігаються.
Теореми про рівносильність рівнянь
Якщо до обох частин рівняння додати одне і те саме число або вираз зі змінною, який не втрачає змісту при будь-яких значеннях змінної, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
Наприклад, рівняння х2 = 9 і х2 + х = 9 + х є рівносильними.
Якщо з однієї частини рівняння перенести в другу частину доданок із протилежним знаком, то дістанемо рівняння рівносильне даному.
Наприклад, рівняння х3 = х – 1 і х3 – х + 1 = 0 є рівносильними.
Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне і те саме число, відмінне від нуля, або на вираз зі змінною, який не перетворюється в нуль при будь-яких значеннях змінної й не втрачає змісту на множині допустимих значень невідомої для даного рівняння, то дістанемо рівняння рівносильне даному.
Наприклад, рівняння х2 = х і x^2/(x^2+1) = x/(x^2+1) є рівносильними.
Якщо обидві частини рівняння піднести до непарного натурального степеня , то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
Наприклад, рівняння х + 1 = 0 і (х + 1)2 = 0 є рівносильними.
2.2 Лінійні рівняння.
Лінійним рівнянням з однією змінною (невідомим) х називається рівняння виду ax + b = 0, a і b – дійсні числа. Якщо a ≠ 0, то рівняння називається рівнянням першого степеня.
Отримали назву лінійних через те, що визначають лінію на площині або в просторі.
Властивості лінійних рівнянь
Якщо , рівняння має єдиний розв'язок:
Якщо тільки , рівняння не має жодного кореня:
Якщо ж і і , рівняння має безліч коренів:
(додаток 1)
Спрощення рівняння і зведення до лінійного
Виконувати в такій послідовності:
Позбутись знаменників, якщо вони є.
Розділити рівняння на лінійні, якщо воно подане у вигляді рівного нулю добутку сум.
Розкрити дужки, якщо вони є. Якщо після цього утворилось багато членів в будь-якій його частині, то доцільно спочатку звести подібні доданки, а потім виконувати переноси.
Перенести члени зі змінними в ліву частину, а числа — в праву.
Звести подібні доданки.
Знайти корені.
3. Квадратні рівняння і методи їх розв’язування.
3.1 Основні поняття
Квадратним рівнянням називають рівняння виду
ax2 + bx + c = 0
де коефіцієнти a, b i c – будь-які дійсні числа, причому a ≠ 0.
Квадратне рівняння називають зведеним , якщо його старший коефіцієнт дорівнює 1. (додаток 2)
Приклад:
x 2 + 2x + 6 = 0.
Квадратне рівняння називають не зведеним , якщо старший коефіцієнт відмінний від 1.
Приклад:
2x 2 + 8x + 3 = 0.
Повне квадратне рівняння - квадратне рівняння, в якому присутні всі три доданків, іншими словами, це рівняння, у якого коефіцієнти b i c відмінні від нуля.
Приклад:
3x 2 + 4x + 2 = 0.
Неповне квадратне рівняння - це квадратне рівняння, у якого хоча б один коефіцієнт b, c дорівнює нулю.
Таким чином, виділяють три види неповних квадратних рівнянь:
1) ax ² = 0 (має два співпадаючих кореня x = 0). (додаток 3)
2) ax ² + bx = 0 (має два кореня x 1 = 0 і x 2 = -b/a) (додаток 4)
Приклад:
x 2 + 5x = 0
x (x +5) = 0
x 1 = 0, x 2 = -5.
Відповідь: x 1 = 0, x 2 = -5.
3) ax ² + c = 0 (додаток 5)
Якщо – -c/a< 0 – рівняння не має коренів.
Приклад:
5x 2 + 6 = 0
Відповідь: рівняння не має коренів.
Якщо – -c/a> 0, то x 1,2 = ± √(-c/a)
Приклад:
2x 2 - 6 = 0
х 2 = ± 6/2
х 1,2 = ± √3
Відповідь: х 1,2 = ± √3
Будь-яке квадратне рівняння можна розв’язати через дискримінант (b ² - 4ac). Зазвичай вислів b ² - 4ac позначають буквою D і називають дискримінант квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0
(або дискримінант квадратного трьохчлена ax2 + bx + c )
Приклад:
х 2 +14 x - 23 = 0
D = b 2 - 4ac = 144 + 92 = 256
x 1,2 = (-b±√D)/2a
x 1 = (-14+√256)/2=1
x 2 = (-14-√256)/2=-15
Відповідь: x 1 = 1, x 2 = - 15.
У залежності від дискриминанта рівняння може мати або не мати рішення.
1) Якщо D <0, то не має рішення.
2) Якщо D = 0, то рівняння має два співпадаючих рішення x 1,2 = -b/2a
3) Якщо D> 0, то має два рішення, що знаходяться за формулою:
x 1,2 = (-b±√(b^2-4ac))/2a (додаток 6)
3.2 Формули парного коефіцієнта при х
Ми звикли до того, що корінь квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0 знаходиться за формулою
x 1,2 = (-b±√(b^2-4ac))/2a
Але математики ніколи не пройдуть повз можливості полегшити собі обчислення. Вони виявили, що цю формулу можна спростити у разі, коли коефіцієнт b має вигляд b = 2k, зокрема, якщо b є парне число.
Справді, нехай у квадратного рівняння ax ² + bx + c = 0 коефіцієнт b має вигляд b = 2k. Підставивши в нашу формулу число 2k замість b, отримаємо:
x 1,2 = (-2k±√D)/2a= (-k±√D)/a
Отже, корені квадратного рівняння ax ² + 2kx + c = 0 можна обчислювати за формулою:
x 1,2 = (-k±√D)/a
Приклад:
5х 2 - 2√5х + 1 = 0
x 1,2 = (-√5±√(5-5∙1))/5=(-√5)/5
Перевага цієї формули в тому, що в квадрат зводиться не число b, а його половина, віднімається з цього квадрата не 4ас, а просто ас і, нарешті, в тому, що в знаменнику міститься не 2а, а просто а.
У разі якщо квадратне рівняння зведене, то наша формула буде виглядати так:
x 1,2 =- k ± √D. (додаток 7)
Приклад:
х 2 - 4х + 3 = 0
х 1,2 = 2 ± √(4-3)
х 1 = 3
х 2 = 1
Відповідь: х 1 = 3, х 2 = 1.
3.3 Теорема Вієта
Дуже цікаву властивість коренів квадратного рівняння виявив французький математик Франсуа Вієт. Цю властивість назвали теорема Вієта: Щоб числа x 1 і x 2 були коренем рівняння x2 + bx + c = 0 необхідно і достатньо виконання рівності
{█(x_1+ x_2= -b@x_1∙ x_2=c)┤
Теорема Вієта дозволяє судити про знаки й абсолютній величині квадратного рівняння
А саме
x2 + bx + c = 0
1. Якщо b> 0, c> 0 то обидва кореня негативні.
2. Якщо b <0, c> 0 то обидва кореня позитивні.
3. Якщо b> 0, c <0 то рівняння має різних знаків, причому негативний корінь по абсолютній величині більше позитивного.
4. Якщо b <0, c <0 то рівняння має різних знаків, причому негативний корінь за абсолютною величиною менше позитивного.
Приклад:
Скласти квадратне рівняння, коренем якого є числа, обернені до коренів рівняння х2 + 3х – 40 = 0.
Коренями рівняння х2 + 3х – 40 = 0 є числа х1 = 5, х2 = - 8. Тоді коренями шуканого рівняння x2 + bx + c = 0, відповідно до умови, є числа 1/5 і -1/8. За теоремою Вієта маємо:
b = - (1/5-1/8)= - 30/40, c = 1/5∙(-1/8)= -1/40.
Отже, шуканим є рівняння x^2-3/40 x-1/(40 )=0 чи 40x2 – 3x – 1 = 0.
Відповідь: 40x2 – 3x – 1 = 0.
3.4 Квадратні рівняння приватного характеру
1) Якщо a + b + c = 0 в рівнянні ax ² + bx + c = 0, то
х 1 = 1 а х 2 = c/a.
Доказ:
У рівнянні ax ² + bx + c = 0, його корені
x 1,2 = (1).
Уявімо b з рівності a + b + c = 0
Підставимо цей вираз у формулу (1):
х 1,2 =
=
Якщо розглянемо окремо два корені рівняння, отримаємо:
1) х 1 =
2) х 2 =
Звідси випливає: х 1 = 1, а х 2 = .
1. Приклад:
2х ² - 3х + 1 = 0
a = 2, b = -3, c = 1.
a + b + c = 0, отже
х 1 = 1
х 2 = 1/2
2. Приклад:
418х ² - 1254х + 836 = 0
Цей приклад дуже важко вирішити через дискримінант, але, знаючи вище наведену формулу його з легкістю можна вирішити.
a = 418, b = -1254, c = 836.
х 1 = 1, х 2 = 2
2) Якщо a - b + c = 0, в рівнянні ax ² + bx + c = 0, то:
х 1 = -1, а х 2 = -c/a
Доказ:
Розглянемо рівняння ax ² + bx + c = 0, з нього випливає, що:
x 1,2 = (2).
Уявімо b з рівності a - b + c = 0
b = a + c, підставимо у формулу (2):
x 1,2 =
=
Отримуємо два вирази:
1) х 1 =
2) х 2 =
Ця формула схожа на попередню, але вона теж важлива, тому що часто зустрічаються приклади такого типу.
1) Приклад:
2х ² + 3х + 1 = 0
a = 2, b = 3, c = 1.
a - b + c = 0, отже
х 1 = -1
х 2 = -1/2
2) Приклад:
Відповідь: x 1 = -1; х 2 = -
3) Метод "перекидання"
Корені квадратних рівнянь y ² + by + ac= 0 і ax ² + bx + c = 0 пов'язані співвідношеннями:
х 1 = і х 2 =
Доказ:
а) Розглянемо рівняння ax ² + bx + c = 0
x 1,2 = =
б) Розглянемо рівняння y ² + by + ac= 0
y 1,2 =
Зауважимо, що дискримінант в обох рішень рівні, порівняємо корені цих двох рівнянь. Вони відрізняються один від одного на старший коефіцієнт, коріння першого рівняння менше коренів другого на а. Використовуючи теорему Вієта і вище наведене правило, неважко вирішувати різноманітні рівняння.
Приклад:
Маємо довільне квадратне рівняння
10х ² - 11х + 3 = 0
Перетворимо це рівняння з наведеним правилом
y ² - 11y + 30 = 0
Отримаємо наведене квадратне рівняння, яке можна досить легко вирішити за допомогою теореми Вієта.
Нехай y 1 і y 2 корені рівняння y ² - 11y + 30 = 0
{█(y_1∙y_2=30@y_1+y_2=11)┤
{█(y_1=6@y_2=5)┤
Знаючи, що корені цих рівнянь відмінні один від одного на а, то
x_1= 6/10=0,6
x_2=5/(10 )=0,5
У деяких випадках зручно розв’язувати спочатку не дане рівняння
ax ² + bx + c = 0, а наведене y ² + by + ас = 0, яке виходить з даного «перекиданням» коефіцієнта а, а потім розділити знайдений корінь на а для знаходження вихідного рівняння.
Дробово-раціональні рівняння та їх розв’язування.
Вирази складені з чисел і змінної, над якими виконуються операції додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до степеня з цілим показником, називаються раціональними виразами.
Рівняння, що містять тільки раціональні вирази, називаються раціональними. Наприклад, (2x-1)/(x+3)=x,x^2-3√2x=1,x^4+3/2 x^2-5/6=0 – раціональні рівняння.
Раціональний вираз, що не містить у знаменнику змінної, називається цілим раціональним виразом.
Рівняння, що містять тільки цілі раціональні вирази, називаються цілими раціональними рівняннями.
Так, друге і третє з наведених вище рівнянь, є цілими раціональними рівняннями. На відміну від них перше рівняння відносять до дробово-раціональних рівнянь.
Раціональне рівняння, що містить, дробовий вираз, називаються дробово-раціональним.
Наприклад, перше з наведених вище рівнянь, а також рівняння 1/(x-5)=2,
(2x-1)/x=x-1/(x+3),(3x-2)^2-4/(3-x)=1 є дробово-раціональними.
До розв’язання дробово-раціональних рівнянь зводиться багато задач.
Приклад:
Учень вирішив прочитати книгу, що містить 480 сторінок, за декілька днів. Але щодня він читав на 20 сторінок більше, ніж планував, і тому прочитав книгу на 4 дні раніше. За скільки днів була прочитана книга?
Нехай учень планував читати щодня по х сторінок. Тоді він прочитав би книгу за 480/х днів. Насправді ж учень щодня читав по (х +20) сторінок і прочитав книгу за 480/(х+20) днів. Відповідно до умови задачі складаємо рівняння.
480/x-480/(x+20)=4 або 120/x-120/(x+20)=1.
Перенесемо всі члени рівняння в одну частину і зведемо їх до спільного знаменника. Дістанемо:
(x^2+20x-2400)/(x(x+20))=0
Дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Розв’язавши квадратне рівняння
x^2+20x-2400=0, дістанемо: х1 = 40, х2 = - 60. Друге значення х від’ємне, тому воно не може бути розв’язком задачі. При х = 40, знаменник x(x+20) не дорівнює нулю, тобто х = 40 – корінь рівняння. Отже учень щодня читав по 60 сторінок. Книга була прочитана за 8 днів.
Відповідь: 8 днів.
Рівняння, що містять змінну під знаком модуля.
З найпростішими рівняннями, що містять змінну під знаком модуля, ми вже зустрічали раніше. Наприклад таким є рівняння |2x-1|=3. Його можна розв’язати двома способами. Перший спосіб – використати геометричний зміст модуля. Якщо відомо, |x_1-x_2 | – це відстань між двома точками на осі з координатами x1 і x2. Записавши задане рівняння у вигляді 2|x-1/2| = 3 чи |x-1/2|=3/2, знайдемо точки на осі, що віддалені від точки 1/(2 ) на відстань 3/(2 )
3/( 2) 3/2
. Це точки x1 = - 1 і x2= 2.
-1 0 1/2 1 2
Таким чином коренями рівняння є числа x1 = - 1 і x2 = 2.
Другий спосіб розв’язування випливає з означення модуля. Модуль виразу (2х – 1) дорівнює 3 тоді і тільки тоді, коли він набуває значення 3 або –3. Таким чином, рівняння |2x-1|=3 рівносильне сукупності рівнянь 2х – 1 = 3,
2х – 1 = - 3. Розв’язавши лінійні рівняння, дістанемо х1 = 2, х2 = - 1. Ці числа є коренями заданого рівняння. (додаток 8 ).
А тепер спробуємо розв’язати більш складніше рівняння з модулем.
Приклад: розв’язати рівняння |(x^2-6x-7)/(x^2+6x-7)|=1.
Задане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь
(x^2-6x-7)/( x^2+6x-7)=-1, (x^2-6x-7)/(x^2+6x-7)=1.
Це дробово-раціональні рівняння. Розв’яжемо їх за загальною схемою. Спочатку перше: (x^2-6x-7)/( x^2+6x-7)=-1, х2 – 6х – 7 = - х2 – 6х + 7, 2х2 = 14, х2 = 7, х1,2 = ±√7.
Оскільки обидва числа ±√7 не перетворюють на нуль знаменник дробу
x^2-6x-7, то вони є коренями заданого рівняння.
Розв’яжемо друге рівняння:
(x^2-6x-7)/(x^2+6x-7)=1, х2 – 6х – 7 = х2 + 6х - 7, 12х = 0, х = 0.
Число х = 0 не перетворює на нуль знаменник рівняння, тому також є коренем заданого рівняння.
Відповідь: √7; - √7; 0.
Рівняння з параметрами.
Розглянемо два рівняння з невідомим х: 2х – 3 = 0 і ax =b. Це обидва лінійні рівняння відносно х, але друге відрізняється від першого тим, що в нього не визначені коефіцієнти a і b, тобто замість a і b можна підставити будь-які числа. У цьому випадку кажуть, що задане рівняння містить параметри a і b. Іншими словами рівняння з параметрами ax +b=0 представляє безліч лінійних рівнянь, які отримаємо при фіксації a і b. Рівняння 2х – 3 = 0 розв’язати легко: х = 3/2. Розв’язання другого рівняння набагато складніше, оскільки можуть виникнути різні ситуації залежно від значень параметрів a і b. Наприклад, якщо a ≠ 0, то рівняння ax =b має єдиний корінь x = b/a. Якщо ж a =0, то вже не можна ділити обидві частини рівняння на a. Як же діяти в цьому випадку? Зазначимо, що ліва частина рівняння 0 ∙ х дорівнює нулю при будь-якому значенні невідомого х. тому якщо b =0 , то рівняння перетворюється у правильну рівність при будь-якому x, тобто будь-яке число буде коренем цього рівняння. І, нарешті, якщо
a = 0, а b ≠ 0, то коренів немає (x∙0 ≠ b).
Отже, ми дістали повну інформацію про розв’язання рівняння залежно від значень параметрів. А саме: якщо a ≠ 0, то x = b/a; якщо a =0 і b =0, то х – будь-яке число, якщо якщо a =0, b ≠ 0, то рівняння не має коренів.
Трохи складніше розв’язувати квадратні рівняння з параметрами. Насамперед необхідно звернути увагу на старший коефіцієнт рівняння. Якщо він при деяких значеннях параметра дорівнює нулю, то в цьому випадку ми маємо справу з лінійними рівняннями. В усіх інших випадках рівняння буде квадратним. Дискримінант цього рівняння також може залежати від параметра. Тому необхідно провести дослідження, при яких значеннях параметра рівняння буде мати один корінь, два корені чи не мати коренів.
Усі випадки повинні бути враховані, тобто у відповіді вказуються усі допустимі значення параметра і відповідні йому корені рівняння.
Приклад:
Розв’язати рівняння (k – 1)x2 – 3x – 1 = 0.
Якщо k=1, то рівняння буде набувати вигляду –3х – 1 = 0, тобто перетворюється в лінійне рівняння, що має єдиний корінь х = -1/3.
Якщо k ≠ 1, то маємо квадратне рівняння, розв’язання якого залежить від його дискримінанта.. Складаємо дискримінант:
D = 9 + 4(k – 1) = 4k + 5.
Якщо 4k + 5 > 0 i k ≠ 1, тобто k > -5/4 i k ≠ 1, то рівняння має два корені:
x1,,2 = (3±√(4k+5))/(k-1).
Якщо 4k + 5 = 0, тобто k = -5/4, то рівняння має єдиний корінь
x=3/(-5/4-1)=-4/(3.)
Нарешті, якщо 4k + 5 <0, тобто k < -5/4, то рівняння дійсних коренів не має.
Відповідь: якщо k > -5/4 і k ≠ 1, то x1,,2 = (3±√(4k+5))/(k-1); якщо k = -5/4, то
x=-4/3; якщо k=1,то х = -1/3; якщо k < -5/4, то рівняння дійсних коренів не має.
Методи розв’язування рівнянь
Метод заміни змінної
Ми вже розглянули методи розв’язування квадратних та найпростіших дробово-раціональних рівнянь. Зараз ми займемося розв’язанням складніших раціональних рівнянь. Загального рецепта, як розв’язувати будь-яке рівняння не існує. Однак існують методи, що корисні в багатьох випадках. Один з таких методів - метод заміни змінної в рівняннях.
Розглянемо рівняння х4 – 3х2 + 2 = 0. Хоча це рівняння і четвертого степеня, розв’язати його неважко. Зазначимо, що невідоме в рівняння входить тільки в парному степені ( у ньому відсутні члени з х і х3). Це дозволяє позначити х2 через
t, тобто x2 = t (зазвичай кажуть «введемо нову змінну»). Тобто x4 = t2 і рівняння запишеться як t2 – 3t +2 = 0. Отримане квадратне рівняння має два корені t1 = 1, t2 = 2. Повертаючись до старої змінної х, дістанемо два нових рівняння х2 = 1 і
х2 = 2, коренями яких будуть числа ±1, ±√2. Ці ж числа є коренями цього рівняння.
Розв’язане вище рівняння називається біквадратним. Як ми вже переконалися, в розв’язанні подібних рівнянь корисна заміна x2 = t. В інших випадках для спрощення рівнянь доцільно виконувати складніші заміни.
Приклад:
Розв’язати рівняння (х2 + х + 1)(х2 + х + 2) = 12.
Щоб перейти до більш простого рівняння, введемо нову змінну
t = x2 + x + 1. Тоді рівняння набуде вигляду: t(t + 1) = 12 чи t2 + t – 12 = 0. Коренями отриманого квадратного рівняння є числа t1 = - 4 і t2 = 3. Але на цьому розв’язання задачі не закінчується, тому що ми знайшли тільки корені допоміжного рівняння. Повертаючись до старої змінної х, дістанемо, що x2 + x + 1= - 4 або x2 + x + 1 = 3. Дискримінант першого з цих рівнянь x2 + x + 5 = 0 дорівнює –19, відтак рівняння дійсних коренів не має. Розв’язуючи друге рівняння x2 + x – 2 = 0, знаходимо
х1 = - 2, х2 = 1. Ці числа є коренями заданого рівняння.
Відповідь: - 2; 1.
Метод розкладання на множники
Розглянемо ще один дуже важливий метод розв’язування рівнянь – розкладання на множники. Цей метод зводить зводить розв’язання заданого рівняння до розв’язання декількох простих.
Нехай потрібно розв’язати рівняння ( х2 – 2 )( х – 3 ) = 0. Незважаючи на те що в лівій частині рівняння стоїть многочлен третього степеня, його легко розв’язати. Справді, добуток ( х2 – 2 )( х – 3 ) дорівнює нулю тоді і тільки тоді, ко хоча б один із співмножників ( х2 – 2 ) чи ( х – 3 ) дорівнює нулю. Отже, розв’язавши рівняння х2 – 2 = 0 і х – 3 = 0, ми дістанемо його корені: х1 = √2
х2 = -√2, х3 = 3.
Підведемо підсумки. Якщо задане ціле раціональне рівняння вдається подати у вигляді Р1(х) ∙ Р2(х) = 0, де Р1(х) і Р2(х) – деякі многочлени, то його розв’язання зводиться до розв’язання рівнянь Р1(х) = 0 і Р2(х) = 0. Об’єднавши корені цих двох рівнянь, ми дістанемо всі корені заданого рівняння.
У цьому випадку кажуть, що рівняння Р1(х) ∙ Р2(х) = 0 рівносильне сукупності рівнянь Р1(х) = 0 і Р2(х) = 0.
Міркуючи аналогічно, дістанемо, що ціле раціональне рівняння виду
Р1(х) ∙ Р2(х) ∙ Р3(х) = 0 рівносильне сукупності трьох рівнянь Р1(х) = 0, Р2(х) = 0, Р3(х) = 0. Щоб замінити рівняння Р(х) = 0 сукупністю простіших рівнянь, насамперед необхідно ліву частину розкласти на множники. Якщо Р(х) – многочлен, то існують спеціальні способи розкладання його на множники. З деякими з них ми вже знайомі. Це – винесення множника за дужки, групування, використання формул скороченого множення.
Приклад:
Розв’язати рівняння х4 – 2х3 + 2х2 – 2х + 1 = 0.
Як ми вже показали вище, рівняння можна перетворити до виду
( х2 + 1)( х – 1)2 = 0. Отже воно рівносильне сукупності двох рівнянь
х2 + 1 = 0 і ( х – 1)2 = 0. Перше з цих рівнянь дійсних коренів не має, коренем другого рівняння є число х = 1. Це число є і коренем заданого рівняння.
Відповідь: 1.
ВИСНОВКИ
Рівняння відіграють дуже велику роль під час розв’язування задач як з математики, так і в інших навчальних дисциплінах. Тому дуже важливо навчатися працювати з рівняннями: складати, розв’язувати, досліджувати їх. Адже фактично сама алгебра виникла у зв’язку з розв’язуванням різних рівнянь.
Рецептів для розв’язування довільних рівнянь не існує. Зазвичай діють таким чином: за допомогою різного виду перетворень і логічних міркувань зводять цю задачу до однієї чи декількох простіших, нові рішення зводяться також до найпростіших, і так доти, поки не дійдемо до таких, спосіб розв’язання який нам добре відомий.
В даній роботі зібрані цікаві історичні факти, відомості про виникнення та розвиток поняття рівняння. Різні рівняння вирішували більше 25 століть тому, безліч способів вирішення таких рівнянь були створені у Вавилоні, Індії. Потреба в рівняннях була і буде. Розглянуто цілі раціональні і дробово-раціональні рівняння, а також методи їх розв’язування – розкладання на множники і заміна змінної. Крім того, обговорилися питання різностильності рівнянь; розглянуто причини появи «сторонніх» коренів і втрати коренів. У третьому розділі наведені різні способи рішення (знаходження коренів) квадратних рівнянь і рівнянь вищих порядків. В основному це способи рішення для рівнянь приватного характеру, тобто до кожної групи рівнянь, об'єднаних певними спільними властивостями або видом, наведено особливе правило, що застосовується тільки для цієї групи рівнянь. Цей спосіб (підбору до кожного рівняння власної формули) набагато легше, ніж знаходження коренів через дискримінант.
У цій роботі досягнуті всі цілі і виконані основні завдання, доведені і розучені нові, раніше невідомі формули. Чим більше різноманітних рівнянь буде розв’язано, ти легше буде впоратися з новими. Ця наукова робота допомогла
класифікувати старі знання і пізнати нові.
Список літератури
Ю.І. Мальований, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк Алгебра 9 клас. Навчальна книга - Богдан, 2009
Віленкін Н.Я. "Алгебра для 8 класу", М., 1995.
Кушнір І.А. "Рівняння", Київ 1996.
О.М. Роганін Алгебра і початки аналізу в означеннях і схемах. 7 – 11 класи – Х.: Веста, 2011.
О.М. Афанасьєва «Я обираю математику!» - Х.: Видю група «Основа», 2010.
Я пізнаю світ .Математика. – К.: Перун, 2006.
Журнал «Математика в школах України». - №16-18, – 2011.
Василь Кравчук, Галина Янченко Алгебра 7клас – Тернопіль, 2007
Журнал «Математика в школі». - №5, №10 – 2010.
Немає коментарів:
Дописати коментар